文档简介
2015-2016下期高一数暑假作业九
本套试卷的知识点：三角函数 三角恒等变换 平面向量 算法 统计 概率 圆与方程
第I卷（选择题）
1.设sin（+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2.已知，，则与的夹角（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3.把函数的图象向左平移后，所得函数的解析式是
（A） （B） （C） （D）
4.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）
A．7 B．15 C．31 D．63
5.已知与y之间的一组数据
0123y1357则y与的线性回归方程=b+必过点（ ）
A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）
6. （2016新课标高考题）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)= .
sin（﹣600°）的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60m/h的汽车数量为（ ）
A．38辆 B．28辆 C．10辆 D．5辆
8.方程2+y2+2a﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（ ）
A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）
9.在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位生的数成绩，其分布如下：
分组[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150） 频数 1 2 6 7 3 1分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
10.
要完成下列3项抽样调查：
①从某班10名班干部中随机抽取3人进行一项问卷调查．
②技报告厅的座位有60排，每排有50个，某次报告会恰好坐满听众，报告会结束后，为了解听众意见，需要随机抽取30名听众进行座谈．
③某高中共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了解教职工的文化水平，拟随机抽取一个容量为40的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
第II卷（非选择题）
11.若cosα=，tanα＜0，则sinα= ．
12.已知函数f（）=，有下列四个结论：
①函数f（）在区间[﹣，]上是增函数：
②点（，0）是函数f（）图象的一个对称中心；
③函数f（）的图象可以由函数y=sin2的图象向左平移得到；
④若∈[0，]，则函数f（）的值域为[0，]．
则所有正确结论的序号是 ．
13.已知||=||=||=1，且⊥，则（+﹣）?的最大值是 ．
14.已知sinα=﹣，α为第三象限角，则等于 ．
15.为了了解某校高一女生的身高情况，随机抽取M个高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布如表：
组 别频数频率[146，150）60.12[150，154）80.16[154，158）140.28[158，162）100.20[162，166）80.16[166，170）mn合 计M1（Ⅰ）求出表中字母m，n所对应的数值；
（Ⅱ）在图中补全频率分布直方图；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计该校高一女生身高的中位数（保留两位小数）
16.已知函数f（）=2cos（sin+cos），∈R．
（1）求的值；
（2）求函数f（）的单调递增区间；
（3）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．
17.已知=（cos，sin），，且
（I）求的最值；
（II）是否存在的值使
2015-2016下期高一数暑假作业九
试卷答案
1.A
【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．
【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．
故选A
【点评】此题考查生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
2.C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】常规题型．
【分析】利用向量的多项式乘法展开，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，求出向量夹角的余弦，利用向量夹角的范围，求出向量的夹角．
【解答】解：设两个向量的夹角为θ
∵
∴
∴9+16×3+12×4cosθ=33
∴
∵θ∈[0，π]
∴θ=120°
故选C．
【点评】求向量的夹角问题一般应该先求出向量的数量积，再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意夹角的范围，求出夹角．
3.B
【知识点】三角函数图像变换
【试题解析】把函数的图象向左平移个单位得到： 故答案为：B
4.D
【考点】程序框图；设计程序框图解决实际问题．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
A B 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 2 3 是
第二圈 3 7 是
第三圈 4 15 是
第三圈 5 31 是
第四圈 6 63 否
则输出的结果为63．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
5.B
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意， =（0+1+2+3）=1.5， =（1+3+5+7）=4
∴与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点．
6. 【答案】
【解析】
试题分析：由题意，解得
所以，
考点：三角变换
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
7.A
【考点】用样本的频率分布估计总体分布．
【专题】计算题．
【分析】根据频率分步直方图看出时速超过60m/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60m/h的汽车数量．
【解答】解：根据频率分步直方图可知时速超过60m/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，
∵共有100辆车，
∴时速超过60m/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）
故选A．
【点评】本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
8.D
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可．
【解答】解：方程2+y2+2a﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，
则4a2+16﹣4（a2+a）＞0，
解得a＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键．
9.B
【考点】频率分布表．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据统计表和样本来估计总体的概念即可求出．
【解答】解：由表可知，优秀的人数为3+1=4，
故分数在130分（包括130分）以上者为优秀，则优秀率为=20%，
故据此估计该班的优秀率约20%，
故选：B．
【点评】本题考查了频率分布表的应用和用样本来估计总体，属于基础题．
10.B
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．
【解答】解：观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，
②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，
③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，
故选： B．
【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．
11.﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．
【解答】解：∵cosα=，tanα＜0，则sinα＜0，且sinα=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
12.①②
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；
②根据函数的对称中心即可求出函数f（）的对称中心；
③根据函数图象的平移即可得到结论；
④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数
【解答】解：∵f（）=，画出函数的图象如图所示
∴函数f（）的增区间为{|﹣+2π≤2+≤+2π，∈}
即{|﹣π+π≤≤+π，∈}，
∴区间[﹣，]是函数f（）一个增函数：故①正确，
∴函数f（）图象的对称中心为2+=π，即=π﹣，
当=1时，=，
∴点（，0）是函数f（）图象的一个对称中心，故②正确，
对于③函数f（）的图象可以由函数y=sin2的图象向左平移得到，故③错误；
对于④∈[0，]，则函数f（）的值域为[﹣1，]，故④错误．
故答案为：①②
【点评】本题考查了正弦函数的单调性及对称性，同时要求生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．
13.﹣1
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】||=||=||=1，且⊥，不妨设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），代入化简利用三角函数的单调性最值即可得出．
【解答】解：∵||=||=||=1，且⊥，
不妨设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））
则（+﹣）?=（1﹣cosθ）?cosθ+（1﹣sinθ）?sinθ=sinθ+cosθ﹣1=﹣1﹣1，
∴（+﹣）?的最大值是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了三角函数的单调性最值、向量的坐标运算数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，将所求化简可得，代入即可求值．
【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限角，
∴cosα=﹣=﹣
∴====﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．
15.【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，建立关系即可解得．
（Ⅱ）画出即可，
（Ⅲ）设中位数为，则154＜＜158，利用定义即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意M==50，落在区间．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）若方程f（）=有三个解，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合即可试求实数的取值范围；
（Ⅱ）作出函数f（）的图象，利用数形结合以及函数定义域和值域之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）若方程f（）=有三个解，
当=0时，方程2﹣2||=，成立，
即当=0是方程的一个根，
当≠0时，等价为方程2﹣2||=有两个不同的根，
即=﹣，
设g（）=﹣，
则g（）=，
作出函数g（）的图象如图：
则当﹣2＜＜2时，=﹣有两个不同的交点，
即此时=﹣有两个非零的根，f（）=有三个解，
综上﹣2＜＜2．
（Ⅱ）作出函数f（）的图象如图：
则函数f（）的值域为．
则m≥﹣1，
若m=﹣1，则f（﹣1）=﹣1，
由f（）=﹣1，得=﹣1或=1，
即当m=﹣1，n=0时，即定义域为，此时函数的值域为，满足条件．
【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合是解决本题的关键．
16.【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值．
【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由函数f（）=2cos（sin+cos），∈R， =﹣=﹣， =﹣=﹣．代入计算即可得出．
（2）利用倍角公式、和差公式即可化为：f（）=．
（3）当时，可得，利用正弦函数的单调性最值即可得出．
【解答】解：（1）∵函数f（）=2cos（sin+cos），∈R， =﹣=﹣， =﹣=﹣．
∴===2．
（2）f（）=2cos（sin+cos）=2sincos+2cos2=sin2+cos2+1=，
由≤≤2π+，（∈），解得≤≤π+，
∴函数f（）的单调递增区间为（∈）．
（3）当时，，∴当，即时，函数f（）取得最大值，
当，即时，函数f（）取得最小值0．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（I）由数量积的定义可得=cosθ﹣，下面换元后由函数的最值可得；
（II）假设存在的值满足题设，即，然后由三角函数的值域解关于的不等式组可得的范围．
【解答】解：（I）由已知得：
∴==2cosθ
∴==cosθ﹣
令
∴cosθ﹣=t﹣，（t﹣）′=1+＞0
∴t﹣为增函数，其最大值为，最小值为﹣
∴的最大值为，最小值为﹣
（II）假设存在的值满足题设，即
∵，
∴cos2θ=
∵，∴≤cos2θ≤1
∴﹣
∴2﹣＜≤2+或=﹣1
故存在的值使
【点评】本题为向量的综合应用，涉及向量的模长和导数法求最值，属中档题．
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