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(新课标)2015-2016高一数学暑假作业(三)

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文档简介


2015-2016下期高一数暑假作业(三)
本套试卷的知识点:三角函数 三角恒等变换 平面向量 算法 统计 概率 圆与方程
第I卷(选择题)
1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(  )
A. =(0,0),=(2,3) B. =(1,﹣3),=(2,﹣6)
C. =(4,6),=(6,9) D. =(2,3),=(﹣4,6)
2.下列各角中,与60°角终边相同的角是(  )
A.﹣60° B.600° C.1020° D.﹣660°
3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是(  )
A.y=ln|| B.y= C.y=sin D.y=cos
4.为了得到函数y=sin3的图象,可以将函数y=sin(3+)的图象(  )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
5.求值: =(  )
A.tan 38° B. C. D.﹣
6.当曲线与直线﹣y﹣2+4=0有两个相异的交点时,实数的取值范围是(  )
A. B. C. D.
7.直线﹣y+4=0被圆(+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于(  )
A. B. C. D.
8.已知函数f()=2cos(sin+cos),则下列说法正确的是(  )
A.f()的最小正周期为2π
B.f()的图象关于点对称
C.f()的图象关于直线对称
D.f()的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象
9.若sin(﹣θ)=,则cos(+2θ)的值为(  )
A. B. C. D.
10.函数y=sin(π+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与轴的交点,记∠APB=θ,则sin2θ的值是(  )

A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分二、填空题(本题共4道小题,每小题0分,共0分)11.等边△ABC的边长为1,记=, =, =,则?﹣﹣?等于  .
12.已知向量=(2,1),=10,|+|=5,则||=   .
13.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=  .
14.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于  .
评卷人得分三、解答题(本题共3道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,共0分)15.点A(1,7)是锐角α终边上的一点,锐角β满足sinβ=,
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
16.已知:平面上两个不相等向量, =(3,4),=(+1,2)
(1)若(+)⊥(﹣),求实数;
(2)若=14,求与的夹角的余弦值.
17.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率.
(3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.
2015-2016下期高一数暑假作业三
答案
1.D
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】计算题;向量法;综合法;平面向量及应用.
【分析】能作为基底的向量需不共线,从而判断哪个选项的两向量不共线即可,而根据共线向量的坐标关系即可判断每个选项的向量是否共线.
【解答】解:A.0×3﹣2×0=0;
∴共线,不能作为基底;
B.1×(﹣6)﹣2×(﹣3)=0;
∴共线,不能作为基底;
C.4×9﹣6×6=0;
∴共线,不能作为基底;
D.2×6﹣(﹣4)×3=24≠0;
∴不共线,可以作为基底,即该选项正确.
故选:D.
【点评】考查平面向量的基底的概念,以及共线向量的坐标关系,根据向量坐标判断两向量是否共线的方法.
2.D
【考点】终边相同的角.
【专题】计算题;转化思想;定义法;三角函数的求值.
【分析】与60°终边相同的角一定可以写成 ×360°+60°的形式,∈,检验各个选项中的角是否满足此条件.
【解答】解:与60°终边相同的角一定可以写成 ×360°+60°的形式,∈,
令=﹣2 可得,﹣660°与60°终边相同,
故选 D.
【点评】本题考查终边相同的角的特征,凡是与α 终边相同的角,一定能写成×360°+α,∈的形式.
3.A
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的定义,对数函数的单调性,以及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=ln||的定义域为{|≠0},且ln|﹣|=ln||;
∴该函数为偶函数;
>0时,y=ln||=ln为增函数;
即该函数在(0,+∞)上单调递增,∴该选项正确;
B.,∈(0,1)时该函数无意义;
∴该函数在(0,+∞)上单调递增是错误的,即该选项错误;
C.y=sin是奇函数,不是偶函数,∴该选项错误;
D.y=cos在(0,+∞)上没有单调性,∴该选项错误.
故选:A.
【点评】考查奇函数和偶函数的定义,以及对数函数和余弦函数的单调性.
4.A
【考点】函数y=Asin(ω+φ)的图象变换.
【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.
【分析】通过化简函数y=sin(3+)的表达式,只需把函数的图象向右平移个单位,即可达到目标.
【解答】解:由于函数y=sin(3+)=sin[3(+)]的图象向右平移个单位,
即可得到y=sin[3(+﹣)]= sin3的图象,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ω+?)的图象平移变换,属于中档题.
5.C
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角和的正切公式,计算求得结果.
【解答】解: =tan(49°+11°)=tan60°=,
故选:C.
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题.
6.C
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】将曲线方程化简,可得曲线表示以C(0,1)为圆心、半径r=2的圆的上半圆.再将直线方程化为点斜式,可得直线经过定点A(2,4)且斜率为.作出示意图,设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(﹣2,1),当直线的斜率大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时,直线与半圆有两个相异的交点.由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算,可得实数的取值范围.
【解答】解:化简曲线,得2+(y﹣1)2=4(y≥1)
∴曲线表示以C(0,1)为圆心,半径r=2的圆的上半圆.
∵直线﹣y﹣2+4=0可化为y﹣4=(﹣2),
∴直线经过定点A(2,4)且斜率为.
又∵半圆与直线﹣y﹣2+4=0有两个相异的交点,
∴设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(﹣2,1),
当直线的斜率大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时,
直线与半圆有两个相异的交点.
由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足,
解之得=,即AD=.
又∵直线AB的斜率AB==,∴直线的斜率的范围为∈.
故选:C

【点评】本题给出直线与半圆有两个不同的交点,求直线的斜率的取值范围.着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
7.B
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;规律型;转化思想;直线与圆.
【分析】利用圆心到直线的距离,半弦长,半径的关系,求解即可.
【解答】解:圆的圆心到直线﹣y+4=0的距离为: =0.
直线被圆(+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于圆的直径:2.
故选:B.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.
8.C
【考点】二倍角的余弦.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】利用二倍角公式化简可得f()=sin(2+)+1,由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可.
【解答】解:∵f()=2cos(sin+cos)=2sincos+2cos2=sin2+1+cos2=sin(2+)+1,
∴f()的最小正周期为,A错误;
由f(﹣)=sin0+1=1,B错误;
由f()=sin+1=1,C正确;
f()的图象向左平移个单位长度后得到y=cos(2+)+1,不为偶函数,故D错误.
故选:C.
【点评】本题主要考查了二倍角公式,正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题.
9.D
【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由条件可得=cos(+θ),再利用二倍角的余弦公式求得cos(+2θ)的值.
【解答】解:∵sin(﹣θ)==cos(+θ),∴cos(+2θ)=2﹣1=2×﹣1=﹣,
故选:D.
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
10.A
【考点】两角和与差的正切函数;由y=Asin(ω+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由解析式求出函数的周期与最值,做出辅助线过p作PD⊥轴于D,根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度,解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦,利用两角和与差公式求出sinθ,进而求得sin2θ.
【解答】解:函数y=sin(π+φ)
∴T==2,
过P作PD⊥轴于D,则AD是四分之一个周期,有AD=,DB=,DP=1,AP=
在直角三角形中有sin∠APD=,cos∠APD=;cos∠BPD=,sin∠BPD=
∴sinθ=sin(∠APD+∠BPD)==
cosθ=
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=
故选:A.
【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用,本题解题的关键是看出函数的周期,把要求正弦的角放到直角三角形中,利用三角函数的定义得到结果,本题是一个中档题目.
11.
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;数形结合;综合法;平面向量及应用.
【分析】由正三角形可知两两向量夹角都是120°,代入数量积公式计算即可.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴中任意两向量的夹角都是120°.
∴=1×1×cos120°=﹣.
∴?﹣﹣?=﹣=.
故答案为.
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,向量夹角的判断,属于基础题.
12.5
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题.
【分析】求出,求出|+|的平方,利用,即可求出||.
【解答】解:因为向量=(2,1),所以=.
因为=10,
所以|+|2==5+2×10+=,
所以=25,则||=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查向量的模的求法,向量数量积的应用,考查计算能力.
13.
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角差的正弦公式,求得要求式子的值.
【解答】解:sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin(75°﹣30°)=sin45°=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用,属于基础题.
14.﹣
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】直线与圆.
【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在轴上方的部分(含于轴的交点),直线与曲线有两个交点,且直线不与轴重合,从而确定直线斜率
﹣1<<0,用含的式子表示出三角形AOB的面积,利用二次函数求最值,确定直线斜率的值.
【解答】解:由,得
2+y2=1(y≥0)
∴曲线表示単位圆在轴上方的部分(含于轴的交点)
由题知,直线斜率存在,设直线l的斜率为,
若直线与曲线有两个交点,且直线不与轴重合
则﹣1<<0
∴直线l的方程为:

则圆心O到直线l的距离
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=

=
=
=



S△AOB有最大值为
此时,

又∵﹣1<<0

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,利用数形结合,二次函数求最值等思想进行解答.
15.
【考点】两角和与差的正切函数;任意角的三角函数的定义.
【专题】计算题;函数思想;数模型法;三角函数的求值.
【分析】(1)直接利用正切函数的定义求得tanα,再由两角和的正切求得tan(α+β)的值;
(2)由tan(α+2β)=tan[α+(α+β)],展开两角和的正切求得tan(α+2β),结合角的范围得答案.
【解答】解:(1)由题知,tanα=7,tan,
∴tan(α+β)=;
(2)∵tan(α+2β)=tan[α+(α+β)]= =,
且α+2β∈(0,),∴.
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,考查了两角和与差的正切,是中档题.
16.
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】(1)根据向量的垂直的条件得到关于的方程,解得即可,
(2)先根据向量的数量积求出的值,再根据向量的夹角公式即可求出.
【解答】解:(1)∵=(3,4),=(+1,2),(+)⊥(﹣),
∴(+)(﹣)=2﹣2=32+42﹣(+1)2﹣﹣42=0,
∴=﹣或=2,
(2)∵=14,
∴3(+1)+4×2=14,
∴=1,
∴=(2,2),
∴||=2,||=5,
∴cos<,>===.
【点评】本题考查了向量垂直的条件以及向量的夹角公式,属于基础题.
17.
【考点】程序框图;古典概型及其概率计算公式;几何概型.
【专题】综合题;概率与统计.
【分析】(1)根据分层抽样可得,故可求n的值;
(2)求出高二代表队6人,从中抽取2人上台抽奖的基本事件,确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件,根据古典概型的概率公式,可得a和b至少有一人上台抽奖的概率;
(3)确定满足0≤≤1,0≤y≤1点的区域,由条件得到的区域为图中的阴影部分,计算面积,可求该代表中奖的概率.
【解答】解:(1)由题意可得,∴n=160;
(2)高二代表队6人,从中抽取2人上台抽奖的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b.f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种,其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种,
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=;
(3)由已知0≤≤1,0≤y≤1,点(,y)在如图所示的正方形OABC内,
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2﹣y﹣1=0,令y=0可得=,令y=1可得=1
∴在,y∈[0,1]时满足2﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=.
【点评】本题考查概率与统计知识,考查分层抽样,考查概率的计算,确定概率的类型是关键.
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