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第六单元 圆
第25课时 点、直线与圆的位置关系
长沙9年中考 (2009~2017)
命题点 切线的相关证明与计算
类型一 切线的性质
(2011长沙18题3分)如图,P是⊙O的直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A=________°.
第1题图
2. (2010长沙24题8分)已知,AB是⊙O的弦,D是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点,过B作AB的垂线交AD的延长线于C.
(1)求证:AD=DC;
(2)过D作⊙O的切线交BC于E,若DE=EC,求sinC.
第2题图
3. (2009长沙24题8分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.
第3题图
4. (2014长沙24题9分)如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC的交点恰好为BC边的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
第4题图
5. (2017长沙23题9分)如图,AB与⊙O相切于点C,OA、OB分别交⊙O于点D、E,eq \o(CD,\s\up8(︵))=eq \o(CE,\s\up8(︵)).
(1)求证:OA=OB;
(2)已知AB=4eq \r(3),OA=4,求阴影部分的面积.
第5题图
类型二 切线的判定
6. (2015长沙24题9分)如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(eq \r(6),0)与点B(0,-eq \r(2)),点D在劣弧eq \o(OA,\s\up8(︵))上,连接BD交轴于点C,且∠COD=∠CBO.
(1)求⊙M的半径;
(2)求证:BD平分∠ABO;
(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.
第6题图
7. (2013长沙22题8分)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
第7题图
8. (2016长沙24题9分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB、DC、DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)若AC=2eq \r(5)DE,求tan∠ABD的值.
第8题图
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点.
(1)求证:AB是⊙O的直径;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明;
(3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.
第9题图
10.(2016郴州)如图,OA,OD是⊙O半径,过A作⊙O的切线,交∠AOD的平分线于点C,连接CD,延长AO交⊙O于点E,交CD的延长线于点B.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线;
(2)如果D点是BC的中点,⊙O的半径为3 cm,求eq \o(DE,\s\up8(︵))的长度.(结果保留π)
第10题图
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC中点,⊙O过A、B、D,CB延长线交⊙O于E.
(1)求证:AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于E,交AC延长线于F,若CD=CF=2,求⊙O的直径;
(3)若CF=CD,求sin∠CAB.
第11题图
12.(2017娄底)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是AC的中点,OE交CD于点F.
(1)若∠BCD=36°,BC=10,求eq \o(BD,\s\up8(︵))的长;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求证:2CE2=AB·EF.
第12题图
答案
1. 35 【解析】∵PC是⊙O的切线,OC是经过切点的半径,∴OC⊥PC,又∵∠P=20°,∴∠COP=70°.∵∠COP是△AOC的一个外角,由外角的性质以及OC=OA,得∠A=eq \f(1,2)∠COP=35°.
2.(1)证明:如解图,连接BD,
∵D是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点,
∴eq \o(BD,\s\up8(︵))=eq \o(AD,\s\up8(︵)),
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD.(2分)
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,∠A+∠C=90°,∠ABD+∠DBC=90°,
∴∠C=∠DBC,
∴BD=DC,
∴AD=DC;……(4分)
(2)解:如解图,连接OD交AB于点F,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE.……(5分)
∵eq \o(BD,\s\up8(︵))=eq \o(AD,\s\up8(︵)),OD过圆心,
∴OD⊥AB,
又∵AB⊥BC,
∴四边形FBED为矩形,
∴∠DEC=90°,
又∵DE=EC,
∴∠C=45°,……(7分)
∴sinC=eq \f(\r(2),2).……(8分)
(1)证明:如解图,连接OE,
∵AC是⊙O的切线,
∴OE⊥AC,
又∵∠ACB=90°,
即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F.(2分)
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,……(3分)
∴BD=BF;……(4分)
(2)解:设⊙O的半径为r,由OE∥BC得△AOE∽△ABC,
∴eq \f(AO,AB)=eq \f(OE,BC),即eq \f(r+4,2r+4)=eq \f(r,6),
∴r2-r-12=0,解得r1=4,r2=-3(舍),……(7分)
∴S⊙O=πr2=16π.……(8分)
4. (1)证明:如解图,连接OD ,
∵DE 是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,(1分)
又∵点O是AB的中点,点D是BC的中点,
∴OD 是△ABC的中位线,……(2分)
∴OD∥AC,……(3分)
∴DE⊥AC;……(4分)
(2)解:如解图,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
又∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
∵AD=AD,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS),
∴AB=AC.……(5分)
∵AB=3DE,
∴AC=3DE.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=∠DEA=90°,
∵∠CAD+∠C=∠EDC+∠C=90°,
∴∠CAD=∠EDC,
∴△ADE∽△DCE,
∴eq \f(DE,AE)=eq \f(EC,DE),即DE2=AE·EC.……(6分)
设DE=nEC,则AC=3nEC,AE=AC-EC=(3n-1)EC,
∴(nEC)2=(3n-1)EC·EC,……(7分)
即n2-3n+1=0,
解得n=eq \f(3±\r(5),2),
∵eq \f(3+\r(5),2)与eq \f(3-\r(5),2)都是正数,
∴均符合题意,……(8分)
又∵在Rt△DEC中,tan∠ACB=eq \f(DE,EC)=n,
∴tan∠ACB=n=eq \f(3±\r(5),2).……(9分)
5. (1)证明:如解图,连接OC,
∵AB与⊙O相切于点C,
∴OC⊥AB,
∴∠ACO=∠BCO=90°,
∵eq \o(CD,\s\up8(︵))=eq \o(CE,\s\up8(︵)),
∴∠AOC=∠BOC,
∵OC=OC,
∴△OAC≌△OBC(ASA),
∴OA=OB;……(4分)
(2)解:由(1)知△OAC≌△OBC,
∴AC=BC=eq \f(1,2)AB=2eq \r(3),
∵在Rt△OAC中,OA=4,AC=2eq \r(3),
∴由勾股定理得OC=eq \r(OA2-AC2)=2,……(6分)
∵sinA=eq \f(OC,OA)=eq \f(2,4)=eq \f(1,2),
∴∠A=30°,
∴∠AOC=60°,
∴∠EOC=∠AOC=60°,
∴S阴影=S△OCB-S扇形OCE=eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)-eq \f(60π×22,360)=2eq \r(3)-eq \f(2π,3).……(9分)
6. (1)解:根据题意可得,OA=eq \r(6),OB=eq \r(2),⊙M经过原点O,
∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙M的直径,
∴在Rt△AOB中,AB=eq \r(AO2+OB2)=eq \r((\r(6))2+(\r(2))2)=2eq \r(2),
∴⊙M的半径为eq \f(1,2)AB=eq \r(2);……(3分)
(2)证明:∵∠COD与∠DBA是⊙M上eq \o(AD,\s\up8(︵))所对的圆周角,
∴∠COD=∠DBA,
又∵∠COD=∠CBO,
∴∠CBO=∠DBA,
∴BD平分∠ABO;……(6分)
(3)解:如解图,过点A作⊙M的切线,交BD 的延长线于点E,过点E作y轴的垂线,垂足为点H,
∵EA⊥AB,EH⊥BH,
∴∠EAB =∠EHB=90°,
又∵BE=BE,∠ABE=∠HBE,
∴△BEA≌△BEH(AAS),
∴BH=BA=2eq \r(2),
∴OH=BH-OB=eq \r(2).……(7分)
∵在Rt△AOB中,tan∠ABO=eq \f(OA,OB)=eq \f(\r(6),\r(2))=eq \r(3),
∴∠ABO=60°,
∴∠CBO=30°,
在Rt△BHE中,tan∠HBE=tan30°=eq \f(\r(3),3)=eq \f(HE,BH),
∴HE=eq \f(\r(3),3)BH=eq \f(\r(3),3)×2eq \r(2)=eq \f(2\r(6),3).
∵EH∥轴,
∴点E 的坐标是(eq \f(2\r(6),3),eq \r(2)).……(9分)
7.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,∠ABD+∠BAC=90°.……(2分)
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠ABD+∠DBC=90°,……(3分)
∴∠ABC=90°,即AB⊥BC,
又∵AB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线;……(4分)
(2)解:如解图,连接OD,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOD=2∠BAC=60°.
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,……(6分)
∴S阴影=S扇形OBD-S△OBD=eq \f(60·π×22,360)-eq \f(1,2)×2×eq \r(3)=eq \f(2π,3)-eq \r(3).……(8分)
8.(1)解:∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°;……(2分)
证明:如解图,连接OD,
∵在Rt△CDE中,F为CE边的中点,
∴DF=CF=eq \f(1,2)CE,
∴∠FDC=∠FCD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD,
即∠ODF=∠OCF.……(3分)
∵EC⊥AC,
∴∠OCF=90°,
∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,……(4分)
∵OD为⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;……(5分)
(3)解:∵∠ACE=90°,∠ADC=90°,
∴∠CAD+∠E=90°,∠DCE+∠E=90°,
∴∠CAD=∠DCE,
又∵∠ADC=∠CDE=90°,
∴△ADC∽△CDE,
∴eq \f(AD,CD)=eq \f(DC,DE),即CD2=AD·DE.……(6分)
∵AC=2eq \r(5)DE,
∴令DE=a,AD=b,则AC=2eq \r(5)a,CD=eq \r(ab),
在Rt△ACD中,由勾股定理可得:
b2+(eq \r(ab))2=(2eq \r(5)a)2,
解得eq \f(b,a)=4或eq \f(b,a)=-5(舍去),……(8分)
∴tan∠ABD=tan∠ACD=eq \f(AD,CD)=eq \f(b,\r(ab))=eq \r(\f(b,a))=2.……(9分)
(1)证明:如解图,连接AD,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∴AB是⊙O的直径;
(2)解:DE与⊙O相切.
证明:连接OD,如解图,
∵点O,D分别是BA,BC的中点,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∵OD为⊙O的半径,
∴DE与⊙O相切;
(3)解:当∠BAC=60°时,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=6,
∴BD=3,
∴AD=3eq \r(3).
∵AC·DE=CD·AD,
∴6×DE=3×3eq \r(3),
∴DE=eq \f(3\r(3),2).
10. (1)证明:∵CA切⊙O于点A,
∴∠CAO=90°.
∵OC平分∠AOD,
∴∠AOC=∠DOC,
在△AOC和△DOC中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA=OD,∠AOC=∠DOC,OC=OC)),
∴△AOC≌△DOC(SAS),
∴∠CDO=∠CAO=90°,
∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:由(1)知:OD⊥BC,
又∵D是BC的中点,
∴OD是BC的垂直平分线,
∴OC=OB,
∴∠BOD=∠DOC=∠COA,
∴∠DOE=60°,
∴eq \o(DE,\s\up8(︵))的长度为eq \f(60π×3,180)=π cm.
11. 证明:(1)连接DE,∵∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°,
∴AE是⊙O直径,
∴∠ADE=90°,
∴DE⊥AC,
又∵D是AC的中点,
∴DE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE;
(2)解:在△ADE和△AEF中,
∵∠ADE=∠AEF=90°,∠DAE=∠FAE,
∴△ADE∽△AEF,
∴eq \f(AE,AF)=eq \f(AD,AE),即eq \f(AE,6)=eq \f(2,AE),
∴AE=2eq \r(3),
∴⊙O的直径为2eq \r(3);
(3)解:∵AE=CE,ED⊥AC,
∴∠CAB=∠DEC=∠DEA,
∴sin∠CAB=sin∠DEA=eq \f(AD,AE),
设AD=,则AF=3,同(2),AE2=AD·AF=32,
∴AE=eq \r(3),
∴sin∠CAB=sin∠DEA=eq \f(\r(3),3).
12. (1)解:如解图,连接OD,
∵∠BCD=36°,∴∠BOD=2∠BCD=2×36°=72°.
∵BC是⊙O的直径,且BC=10,
∴leq \o(BD,\s\up8(︵))=eq \f(72π×5,180)=2π;
(2)解:DE是⊙O的切线;理由如下:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠ADC=180°-∠BDC=90°,
又∵点E是线段AC中点,
∴DE=AE=EC=eq \f(1,2)AC,
在△DOE与△COE中,
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD=OC,OE=OE,DE=CE)),
∴△DOE≌△COE.
∵∠ACB=90°,
∴∠ODE=∠OCE=90°,
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(3)证明:∵△DOE≌△COE,
∴OE是线段CD的垂直平分线,
DE=CE,
∴点F是线段CD中点,
已知点E是线段AC中点,则EF=eq \f(1,2)AD,
在△ACD与△ABC中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAC=∠CAD,∠ADC=∠ACB)),
∴△ACD∽△ABC,
则eq \f(AC,AB)=eq \f(AD,AC),即AC2=AB·AD,
而AC=2CE,AD=2EF,
∴(2CE)2=AB·2EF,
即4CE2=AB·2EF,
∴2CE2=AB·EF.
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